modele matematyczne
© Adobe Stock

Modele matematyczne – czym są i gdzie się je stosuje

Wielu z nas zastanawiało się w szkole, jakie zastosowanie w praktyce może mieć matematyka? Matematyk Grzegorz Plichta na przykładzie modeli matematycznych przybliża nam rolę tej dziedziny wiedzy w naszym życiu. Jedną z takich ról jest m.in. prognozowanie zagrożenia epidemicznego.
8 udostępnień
8
0
0

Współczesna cywilizacja mocno ingeruje w środowisko naturalne, silnie je eksploatuje i kształtuje według swoich potrzeb. Szybki rozwój techniki i ekspansja ludzi na tereny dotąd dziewicze powodują, że gatunek ludzki styka się z nieznanymi mu wcześniej czynnikami chorobotwórczymi. Nieznane bakterie, wirusy, grzyby czy pasożyty mogą dysponować sporym potencjałem chorobotwórczym względem człowieka. Także przemysłowa hodowla zwierząt może zwiększać prawdopodobieństwo przełamania bariery zwierzę-człowiek dla tych potencjalnie niebezpiecznych organizmów.

Wirusy czy bakterie bytujące na zwierzętach mogą przejść na ludzi i wywołać u nich tzw. choroby odzwierzęce. Jeżeli wirus lub bakteria zyska zdolność przenoszenia się na kolejnych ludzi, robi się niebezpiecznie. Przykładami takich patogenów są wirusy wywołujące AIDS, gorączkę krwotoczną Ebola czy też SARS (z roku 2002). W 2019 roku świat poznał nowy wirus: SARS-CoV-2, który wywołuje ostrą chorobę układu oddechowego – COVID-19. Choroba rozprzestrzeniła się na całym świecie i zapewne walka z nią będzie trwała jeszcze długo.

Jak prognozuje się liczbę chorych na COVID-19?

Codziennie jesteśmy informowani o liczbie wykrytych nowych zakażeń, liczbie chorych wymagających hospitalizacji, a także zmarłych w wyniku nowej choroby. W tych doniesieniach medialnych pojawiają się nierzadko informacje o przewidywaniach dotyczących rozwoju pandemii w kraju. Mowa wtedy o tzw. modelach epidemicznych lub modelach matematycznych. Naukowcy pracujący z tymi modelami starają się prognozować, jak epidemia może rozwinąć się w najbliższym czasie, przewidzieć liczbę nowych infekcji, których możemy się spodziewać za tydzień, miesiąc lub dłużej. Jednak mało kto mówi, czym są te modele matematyczne, jak się je tworzy i jak działają. Czasami tylko można przeczytać lub usłyszeć, że są one wykonywane jako symulacje komputerowe.

Między innymi tym zajmuje się biomatematyka. To dziedzina z pogranicza biologii i matematyki, zajmująca się rozwojem metod matematycznych na potrzeby biologii i nauk pokrewnych, w tym medycyny. Komputery zaś wykonują żmudne obliczenia.

SIR – prosty model rozwoju epidemii choroby zakaźnej

Jednym z najprostszych modeli rozwoju epidemii choroby zakaźnej jest model SIR (Susceptible – Infected – Resistant lub Removed). Rozważa on sytuację, w której niewielka grupa zarażonych osób pojawia się w dużej populacji ludzi (np. wszyscy obywatele kraju lub mieszkańcy miasta). Przebieg choroby wprowadza podział naszej populacji na trzy różne grupy:
            S – podatnych na zakażenie, czyli takich, którzy mogą zachorować;
            I – zainfekowanych, którzy chorują i roznoszą infekcję;
            R – ozdrowiałych, do tej grupy zaliczamy osoby, które wyzdrowiały i nabyły odporność, ale znajdują się w niej również tacy, którzy jeszcze chorują, ale zostali odizolowani, a także zmarli.

Liczebność poszczególnych grup zmienia się w czasie, lecz ich suma pozostaje stała w pewnym dłuższym okresie. Jest to pierwsze założenie tego modelu, nieco nierzeczywiste, ale dla odpowiednio dużej populacji bliskie prawdy. Przejście między tymi grupami opisuje schemat:

S → I → R

Równania matematyczne pozwalają zapisać ogólną sytuację, pomijając mniej istotne szczegóły. W końcu ma to być tylko model, a nie pełny opis rzeczywistości. Jak postaram się dalej pokazać, wystarczy to w zupełności.

Rozprzestrzenianie się infekcji i jej przebieg u osób zakażonych ma odzwierciedlenie w składnikach równań matematycznych i ich parametrach liczbowych. Racjonalne wydaje się przyjąć, że przyrost w grupie osób zainfekowanych jest proporcjonalny do liczby kontaktów pomiędzy nimi a osobami z grupy podatnych (uwzględniamy tu także prawdopodobieństwo zainfekowania nowej osoby w wyniku takiego kontaktu). Osób podatnych ubywa dokładnie w tym samym tempie. Proces zdrowienia przenosi osoby do grupy ozdrowiałych w określonym tempie. Uznajemy także, że okres inkubacji jest na tyle krótki, że osoba, która się zaraziła, zaczyna chorować natychmiast (a także infekować podatnych). Dodatkowym uproszczeniem będzie jeszcze założenie, że wszystkie grupy są ze sobą jednostajnie przemieszane i każda osoba jest równie podatna na zakażenie jak inni. Nastąpi teraz duży przeskok i pojawi się układ równań matematycznych, który realizuje powyższy opis:

dS = – r · S · I
dI =  r · S · I – a · I
dR =  a · I

Jest to układ równań różniczkowych, który opisuje tempo zmian w poszczególnych grupach: dS, dI, dR (lewa strona), w zależności od bieżącej sytuacji (prawa strona). Pamiętajmy, że wszystko to zmienia się w czasie i rozwiązaniami nie są określone liczby, a funkcje liczbowe zależne od zmiennej czasowej. Obrazowo mówiąc, będą to wykresy przedstawiające zmiany liczebności osób w poszczególnych grupach.

źródło: Wikipedia

W równaniach, które są matematyczną reprezentacją rozważanego modelu, pojawiły się dwa współczynniki liczbowe: r i a (oba większe od zera). r oznacza współczynnik (tempo) rozprzestrzeniania się infekcji, natomiast a jest współczynnikiem zdrowienia osób zainfekowanych. Odwrotność tego ostatniego współczynnika (czyli 1/a) odzwierciedla średni czas trwania infekcji.

Tak zdefiniowany model w literaturze nosi nazwę modelu Kermacka-MacKendricka (zaprezentowany w 1927 roku).

Mając dostęp do danych statystycznych dotyczących zachorowań można wyznaczyć wartości współczynników: r i a. Im bardziej te dane statystyczne będą rzetelne i pełne, tym wiarygodniej będzie można prognozować rozwój epidemii. Masowe testowanie członków populacji nie tylko pozwala odizolować osoby zakażające (do czasu wyzdrowienia), ale także dostarcza nam istotnych danych.

Analiza matematyczna powyższego modelu umożliwia określenie czy epidemia wygaśnie, czy będzie się rozwijać i w jakim tempie; kiedy nastąpi szczyt zachorowań i jak będzie on duży; jaka będzie całkowita liczba osób, które zachorują.

Jeżeli przez S0 oznaczymy początkową liczebność grupy podatnych na zachorowanie (w początkowej fazie epidemii), to poniższy wzór

P0 = r · S0 / a

definiuje tzw. bazowy współczynnik reprodukcji dla danej infekcji, czyli liczbę osób wtórnie zainfekowanych przypadającą na jedną osobę pierwotnie zainfekowaną. Prościej: średnio ile osób jeden chorujący jest w stanie zarazić. Jeżeli wartość tego wskaźnika przekracza jeden, to choroba się rozprzestrzenia. Wartość pomiędzy zerem a jeden oznacza stopniowe wygaszanie choroby.

Symulacje komputerowe pokażą nam możliwy stan epidemii za tydzień, za miesiąc lub dalej. Dysponując takimi prognozami decydenci mogą podjąć decyzje o wprowadzeniu kolejnych obostrzeń, zakupie odpowiedniego sprzętu czy budowie szpitali polowych. Pokażą jak określone decyzje (np. o cofnięciu obostrzeń lub otwarciu szkół) wpłyną na bliższą lub dalszą sytuację epidemiczną. Po prostu pozwalają na świadome kształtowanie strategii walki z epidemią w okresie jej trwania. Trzeba tylko z tego skorzystać.

Modele SEIR i SIRS – trochę wyższy poziom

Jak wcześniej napisałem, model SIR jest bardzo prosty, ale nawet obarczony szeregiem uproszczeń jest w stanie dostarczyć ciekawych wniosków. Istnieją modyfikacje powyższego modelu np. SEIR (E – to grupa osób z chorobą w fazie utajonej) uwzględniający choroby zakaźne z długim okresem inkubacji, SIRS – rozważający zjawisko utraty wcześniej nabytej odporności. W swojej pracy magisterskiej analizowałem model, w którym pojawia się szczepionka. Już kilkakrotnie publikowane były doniesienia o ponownym zakażeniu się wirusem SARS-CoV-2 i rozwoju choroby. Pierwsze badania nad tym zjawiskiem wskazują, że po upływie od trzech do sześciu miesięcy obniża się poziom przeciwciał wytworzonych przez układ immunologiczny w odpowiedzi na infekcję. Czy oznacza to utratę odporności, czy tylko uśpienie układu odpornościowego (do czasu ponownego kontaktu z wirusem)? Wciąż mamy zbyt mało danych, aby jednoznacznie odpowiedzieć na to pytanie. Warto zbadać, jakie skutki dla rozwoju epidemii COVID-19 może nieść zjawisko reinfekcji. Jeżeli mowa o szczepionce przeciwko wirusowi SARS-CoV-2, to trzeba zdać sobie sprawę z dwóch kwestii. Nie będzie ona skuteczna w 100 proc. oraz jej dystrybucja wśród członków populacji zajmie pewien czas. Dopiero osiągnięcie odporności populacyjnej na poziomie powyżej 90 proc. zapewni nam bezpieczeństwo jako populacji. Odpowiednio skonstruowany model może pokazać jak długo mogą jeszcze potrwać zmagania z epidemią.

Możliwości modyfikacji i rozwoju modeli matematycznych w epidemiologii jest wiele. Współcześnie tworzone modele matematyczne uwzględniają naturalne procesy demograficzne, strukturę społeczną populacji, rozmieszczenie przestrzenne jej członków oraz pewne schematy zachowań międzyludzkich. To wszystko pozwala jeszcze lepiej odwzorować naszą rzeczywistość i zwiększyć dokładność przewidywań. Doskonałymi przykładami są tu modele matematyczne rozwijane w Interdyscyplinarnym Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego UW oraz przez Politechnikę Wrocławską wraz z międzynarodowymi partnerami. Pracujący tam naukowcy wciąż doskonalą swoje dzieła, uwzględniając nowe odkrycia i dane. Niebagatelną rolę odgrywa tu dostęp do superkomputerów, które wykonują niezbędne obliczenia i symulacje w oparciu o zaprogramowane modele.

Do czego jeszcze służą modele matematyczne?

To był tylko jeden przykład zastosowania modelowania matematycznego. Poniżej chciałbym zaprezentować nieco szersze spojrzenie na ten temat.

Modele matematyczne mają za zadanie – w pewnym ograniczonym zakresie, stosując pewne uproszczenia – odzwierciedlać rzeczywiste procesy i układy w czasie i przestrzeni, używając przy tym języka matematyki do opisania ich zachowania. Analizując własności matematyczne tych modeli można poznać cechy modelowanych procesów i układów. Za pomocą komputerów, na podstawie jego modelu matematycznego można odtworzyć zachowanie badanego układu. Symulacje numeryczne pozwalają przenieść część skomplikowanych i czasochłonnych badań oraz eksperymentów do wirtualnej rzeczywistości. Oprócz znalezienia optymalnego rozwiązania, symulacje komputerowe pozwalają przygotować się na alternatywne sytuacje. Ograniczają przy tym koszty (także te niematerialne) i przyspieszają badania naukowe.

Symulacje komputerowe są stosowane przy tworzeniu samolotów, statków, pojazdów naziemnych (w branży motoryzacyjnej i obronnej) czy broni różnego rodzaju (w tym broni jądrowej). Korzystają z nich ekonomiści i biznesmeni (planowanie budżetu, prognozowanie inwestycji i wydatków, zarządzanie zapasami), przedstawiciele nauk społecznych (dynamika populacji, wpływy społeczne), przyrodniczych (meteorologia, rozprzestrzenianie zanieczyszczeń, modele ekologiczne i ewolucyjne) oraz inżynieryjnych (budownictwo, nowe materiały). Spora część symulacji przeprowadzanych jest w medycynie (badania diagnostyczne, nowe metody lecznicze, poszukiwanie leków), fizyce (symulacje oddziaływań pomiędzy cząstkami elementarnymi, symulacje zjawisk kosmicznych, weryfikacja nowych hipotez) i chemii (poszukiwanie nowych związków, analiza reakcji międzyatomowych i cząsteczkowych). Ten ogromny rynek stymuluje informatykę do rozwoju oprogramowania, języków programowania i budowy nowych, efektywniejszych komputerów. Działające już komputery kwantowe otwierają nowe możliwości badawcze.

Przyszłość niesie wiele wyzwań i możliwości, ale także mnóstwo zagrożeń. Narzędzia naukowe pozwalają spojrzeć na to z innej perspektywy.


Ważniejsze źródła:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

może Ci się spodobać

Minecraft to gra o wielu zaletach

W Minecrafta młodsi i starsi „tną” już od 2011 roku. Jeśli jesteś rodzicem, zaniepokojonym faktem, iż twoja pociecha…

Jak język wpływa na osobowość?

Czy mówiąc innym językiem niż mój ojczysty, staję się inną osobą? W jaki sposób język, którym się posługuję…
odręczne pisanie ćwiczy mózg

Odręczne notatki ćwiczą mózg

Mózg podziękuje ci, jeśli będziesz starał się pisać odręcznie. To doskonałe ćwiczenie, które w przeciwieństwie do pisania na…